误差传播定律是数学中用于描写线性系统中的误差随时间变化的规律。它主要利用于信号处理、控制系统、机器人学等领域，特别是在计算丈量误差时非常有用。

误差传播定律的基本思想是将一个复杂系统的输出误差与输入误差之间建立联系。这个定律可以帮助我们理解在丈量或估计过程当中，由于模型的不完善或丈量装备的误差所致使的输出结果的误差。

误差传播定律通常以微分方程的情势表示，描写了误差如何随着时间和输入数据的变化而传播和积累。它可以帮助我们更好地理解和优化系统性能，例如在控制系统中调剂参数以减小误差影响。

为了让您更深入了解，

下面推导一般函数关系的误差传播定律。

设有一般函数为

z=F（x1，x2，…，xn） （5-14）

式中：x1，x2，…，xn——可直接观测的相互独立的未知量；

z——不便于直接观测的未知量。

设xi（i=1，2，…，n）的独立观测值为li，其相应的真误差为Δxi。由于Δxi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差Δz。将（5-14）式取全微分为

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因误差Δxi及Δz都很小，故在上式中，可近似用Δxi及Δz代替dxi及dz，于是有

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式中：——函数F对各个变量的偏导数。

将xi=li代入各偏导数中，即为确定的常数。设

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则（5-15）式可写成

Δz=f1·Δx1+f2·Δx2+…+fn·Δxn （5-16）

为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各xi进行了k次观测，则可写出k个类似于（5-16）式的关系式：

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将以上各式等号两边平方，再相加，得

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上式两端各除以k，得到

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设对各xi的观测值为彼此独立的观测，则ΔxiΔxj（当i≠j时）亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，当k→∞时（5-17）式的末项趋近于零，即

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故（5-17）式可写为

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根据中误差的定义，上式可写成

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当k为有限值时，可写为

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（5-19）式即为计算函数中误差的一般形式。应用（5-19）式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量。

例5-3在1：500地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。

解：函数关系为DAB=500×dAB=25600mm

，md=±0.2mm，代入误差传播公式（5-18）中，得

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mD=±100m

最后得DAB=25.6m±0.1m