根据搜索结果，海南省内具有公派留学资格的大学主要包括以下几所，涵盖教师和研究生两个层面：

一、海南大学

教师公派项目

2012年，海南大学首次以“211工程”建设为契机，通过国家公派出国留学地方合作项目，录取7名教师出国深造，成为该项目录取该校教师人数最多的一次。

项目特点

被录取教师通常获得2年留学资格，自录取之日起陆续出国。

二、海南医科大学

高级访问学者项目

2024年，海南医科大学国际护理学院蒋新军老师获国家留学基金管理委员会批准，成为学院首位获此身份的教师。

学科背景

海南医科大学生命科学学院是海南省唯一一所公办护理本科及硕士人才培养基地，拥有20余年办学历史。

三、海南师范大学

博士研究生公派项目

2023年，生命科学学院博士研究生张彦坤获国家建设高水平大学公派研究生项目资助，赴德国罗斯托克大学联合培养博士研究生，这是该校博士生首个此类成功案例。

项目特点

张彦坤的留学项目为18个月联合培养，符合国家公派研究生项目的规范。

其他说明

海南师范大学公派留学的特殊性

其博士研究生公派项目由学校研究生院直接申报，与教师公派项目（需外事侨务处）有所区分。

海南师范教育的整体情况

海南师范大学是海南省重点建设高校，但搜索结果未提及教师公派项目，需进一步核实。

总结

目前，海南大学、海南医科大学、海南师范大学均具备公派留学资格，涵盖教师和研究生不同层次。建议有留学需求的师生关注学校官网或外事部门通知，及时了解最新项目信息。