在清朝时期，出国留学主要通过以下几种途径：

官派留学

幼童赴美留学：从1872年到1875年间，清政府选派了120名10岁至16岁的幼童赴美留学，这是中国近代史上第一批官派留学生。容闳带领30名幼童赴美国留学，这是第一位留美学生。

赴欧洲学习：

1877年至1897年间，清政府还四次派遣留学生赴英国、法国、德国等地学习，主要学习军事、船政和制造等专业知识。

官方资助留学

驻日公使培养日语精英：清政府驻日公使为培养日语人才而派遣留学生。

南北洋大臣和地方督抚培养文武人才：通过南北洋大臣和地方督抚的推荐，选拔优秀学子出国留学。

自费留学

个人申请：一些有经济条件和个人志向的学生通过自费的方式出国留学，虽然这种情况较少见，但也存在。

选拔条件与管理

选拔标准：留学生通常为12-15岁的男少年，需具备一定的学历和学术能力，同时有良好的文化素养和语言能力。

管理方式：在美国设立留学生事务所，由正副监督官管理留学生的学习和生活。从海关收入中拨出一定的经费作为留学生的费用。

鼓励政策

“新政”时期：清朝末年实行“新政”时，鼓励留学生出国留学，尤其是女子留学。选派方式一般由地方督抚包办，各省自定标准。在国外设立留学生监督处，对男女留学生共同管理，并采取奖励政策，鼓励留学生学成归国。

这些留学途径和规定反映了清朝时期对留学教育的重视，尤其是在洋务运动时期，政府希望通过派遣留学生学习西方的先进知识和技术，以推动国家的现代化进程。