证明函数极限存在的方法有很多种，以下是其中几种常用的方法：直接代入法：如果可以直接将函数的极限值代入函数表达式，且代入后得到的值是一个具体的数值，那么这个极限就存在。

极限的性质：如果函数的极限具有一些性质，如连续性、有界性等，那么这个极限就存在。定义法：如果函数的极限可以用定义法来表示，那么这个极限就存在。定义法通常用于证明数列或函数的极限，其中常用的符号是“lim”。局部性质法：如果函数的局部性质可以推出函数的极限，那么这个极限就存在。例如，如果函数在某一点的附近有界，那么这个点的极限就存在。夹逼法：如果函数被其他两个更简单的函数所夹逼，而且这两个函数在某一点的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在。分子有理化法：对于一些分母为0的函数，可以通过分子有理化来证明极限的存在。例如，对于函数f(x)=x/√(x^2-1)，当x趋近于正无穷或负无穷时，分母趋近于0，但是分子和分母都趋近于正无穷或负无穷，所以极限为1。单调有界定理法：如果一个数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，那么这个数列一定有极限。需要注意的是，证明函数极限存在的方法并不是唯一的，有时候需要结合多种方法来进行证明。同时，在证明过程中需要注意严谨性和完整性，避免出现逻辑错误或遗漏重要的证明步骤。

1. 首先，判断左右极限是否存在。如果左极限或右极限其中之一不存在，或者两个都不存在，那么极限就不存在。

2. 如果左右极限都存在，需要进一步判断左右极限是否相等。只有当左右极限都存在且相等时，才能说明函数极限存在。

3. 对于分段函数来说，如果左右极限不相等，那么极限就不存在。

4. 另外，如果一个函数在某点Xo处有定义，但是通过计算求值发现结果是无穷，也可以说明该函数在Xo处的极限不存在。

5. 此外，还可以利用一些特殊准则来判断极限是否存在，例如单调有界准则、夹逼准则和柯西极限存在准则等。